Четверг, 23.11.2017, 10:40
Высшее образование
Приветствую Вас Гость | RSS
Поиск по сайту



Главная » Статьи » Рынок. Предпринимательство. Бизнес

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

М.Б.Саидахмедова,к.т.н., доцент, Российский экономический университет имени Г.В.Плеханова

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Статья посвящена одной из актуальных тем научного исследования, математическому моделированию экономических систем. В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние. Ее роль складывалась исторически и зависела от двух факторов: степени развития математических понятий и математического аппарата, а также степени зрелости знания об изучаемом объекте. Более точное математическое описание процессов и явлений, вызванное потребностями современной науки, приводит к появлению сложных систем интегральных, дифференциальных, интегральных, трансцендентных уравнений и неравенств, которые не удается решить аналитическими методами в явном виде. Для решения таких задач приходится прибегать к вычислительным алгоритмам, использовать какие-либо бесконечные процессы, сходящиеся к конечному результату. Приближенное решение задачи получается при выполнении определенного числа шагов.

Ключевые слова: моделирование, математическое моделирование, агрегированная экономика, имитационное моделирование, адекватность модели, модели прогнозирования, модели аппроксимации, модели интерполяции, временные ряды.


Современное развитие науки характеризуется потребностью сложного изучения всевозможных сложных процессов и явлений - физических, химических, биологических, экономических, социальных и других. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы совершенно от нее далеких - лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения.

Более точное математическое описание процессов и явлений, вызванное потребностями современной науки, приводит к появлению сложных систем интегральных, дифференциальных, интегральных, трансцендентных уравнений и неравенств, которые не удается решить аналитическими методами в явном виде. Для решения таких задач приходится прибегать к вычислительным алгоритмам, использовать какие-либо бесконечные процессы, сходящиеся к конечному результату. Приближенное решение задачи получается при выполнении определенного числа шагов.

Развитие ЭВМ стимулировало более интенсивное развитие вычислительных методов, создало предпосылки решения сложных задач науки, техники, экономики. Широкое применение при решении таких задач получили методы прикладной математики и математического моделирования.

В настоящее время прикладная математика и ЭВМ являются одним из определяющих факторов научно-технического прогресса. Они способствуют ускорению развития ведущих отраслей народного хозяйства, открывают принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов.

Модели агрегированной экономики

Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

Почему можно говорить об эффективности применения методов математического моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем:
- изменчивость (динамичность);
- противоречивость поведения;
- тенденция к ухудшению характеристик;
- подверженность воздействию окружающей среды;
- предопределяют выбор метода их исследования.

За последние 30-40 лет методы моделирования экономики разрабатывались очень интенсивно. Они строились для теоретических целей экономического анализа и для практических целей планирования, управления и прогноза. Содержательно модели экономики объединяют такие основные процессы: производство, планирование, управление, финансы и так далее. Однако в соответствующих моделях всегда упор делается на какой-нибудь один процесс (например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в упрощенном виде.

В литературе, посвященной вопросам экономико-математического моделирования, в зависимости от учета различных факторов (времени, способов его представления в моделях; случайных факторов и тому подобное) выделяют, например, такие классы моделей:
1. статистические и динамические;
2. дискретные и непрерывные;
3. детерминированные и стохастические.

Если же рассматривать характер метода, на основе которого строится экономико-математическая модель, то можно выделить два основных типа моделей: математические и имитационные.

Развитие первого направления в мировой и российской науке связано с такими именами, как Л.Н. Канторович, Дж. Фон Нейман, В.С. Немчинов, Н.А. Новожилов, Л.Н. Леонтьев, В.В. Леонтьев и многие другие. Большой интерес в этом направлении представляют модели агрегированной экономики, где рассматривается отраслевой, народнохозяйственный уровень. Динамические народнохозяйственные модели используются в роли верхних координирующих звеньев систем экономико-математических моделей. С ростом временного горизонта увеличивается разнообразие вариантов перспективного развития экономики и возрастает число степеней свободы для выбора оптимальных решений, поскольку уменьшается влияние ограниченности ресурсов, неизбежно предопределяемой предшествующим развитием. Однако с ростом временного горизонта фактор неопределенности также начинает играть все возрастающую роль. По мнению Ю.Н. Черемных «укрупненная номенклатура динамических моделей регламентируется в первую очередь качеством информационного обеспечения. Переход к такой номенклатуре для сокращения размерности может быть продиктован недостаточно мощным алгоритмическим и машинным обеспечением.» Для отыскания оптимальных траекторий динамических народнохозяйственных моделей используются как конечные, так и бесконечные методы, предложенные для решения задач математического программирования. Большое теоретическое и прикладное значение динамических моделей стимулировало многих авторов на разработку специальных методов поиска оптимальных траекторий. Предложенные методы учитывают явно или не явно блочную структуру ограничений динамических моделей и строятся обычно без учета конкретных особенностей оптимальных траекторий.

Имитационное моделирование и исследование экономических систем

Рассмотрим подробнее применение имитационного моделирования экономических систем, процессов. По словам крупного ученого в этой области Р.Шеннона, «идея имитационного моделирования проста и интуитивно привлекательна, позволяет экспериментировать с системами, когда на реальном объекте этого сделать нельзя». В основе этого метода - теория вычислительных систем, математическая статистика, теория вероятностей. Все имитационные модели построены по типу «черного ящика», то есть сама система (ее элементы, структура) представлены в виде «черного ящика». Есть какой-то вход в него, который описывается экзогенными или внешними переменными, которые возникают вне системы, под воздействием внешних причин, и выход описываемый эндогенными или выходными переменными, который характеризует результат действия системы.

В имитационном исследовании большое значение имеет этап оценки модели, который включает в себя следующие шаги:
- Верификация модели (модель ведет себя так, как это было задумано исследователем).
- Оценка адекватности (проверка соответствия модели реальной системе).
- Проблемный анализ (формирование статистически значимых выводов на основе данных, полученных в результате экспериментов с моделью).

Большой интерес в имитационном моделировании представляет метод системной динамики - разработанный одним из крупнейших специалистов в области теории управления, профессором в школе управления Альфреда П. Слоуна в Массачусетском технологическом институте, Джеймсом Форрестером. Его первая книга в этой области «Кибернетика предприятия» вызвала огромный интерес мировой науки к методу системной динамики в имитационном моделировании.

Начало глобальному моделированию положил другой труд Дж. Форрестера - «Мировая динамика». Здесь он рассматривает мир как единое целое, как единую систему различных взаимодействующих процессов: демографических, промышленных, процессов исчерпания природных ресурсов и загрязнения окружающей среды, процесса производства продуктов питания. Расчеты показали, что при сохранении развития общества, точнее сегодняшних тенденций его развития, неизбежен серьезный кризис во взаимодействии человека и окружающей среды. Этот кризис объясняется противоречием между ограниченностью земных ресурсов, конечностью пригодных для сельскохозяйственной обработки площадей и все растущими темпами потребления увеличивающегося населения. Рост населения, промышленного и сельскохозяйственного производства приводит к кризису: быстрому загрязнению окружающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства и повышению смертности. На основании анализа этих результатов делается вывод о необходимости стабилизации промышленного роста и материального потребления.

Исследования Дж.Форрестера, Р.Шеннона, Дж.Шрайбера и многих других ученых в области имитационного моделирования позволяет сделать вывод о перспективности использования этого метода в области экономики.

Модели прогнозирования

Существует множество математических моделей, посредством которых решаются те, или иные задачи. Во всех сферах деятельности человека важным моментом является прогнозирование последующих событий. Сейчас существует более 100 методов и методик прогнозирования, Условно их можно разделить на фактографические и экспертные. Фактографические методы основаны на анализе информации об объекте, а экспертные - на суждениях экспертов, которые получены при проведении коллективных или индивидуальных опросов. Среди фактографических методов можно выделить следующие:
- Статистические методы.
- Методы аналогии.

К статистическим методам относятся аппроксимация, интерполяция, методы исследования временных рядов.

К методам аналогии относятся модели планирования эксперимента, а также математические, исторические и другие аналогии.

Среди моделей прогнозирования можно выделить следующие:

Модели аппроксимации

Методы аппроксимации применимы к детерминированным и статистическим системам. Аппроксимация - приближение (с лат.).

Выбор аппроксимирующей функции F(B,x) связан с решением оптимизационной задачи. Для этого применяется критерий минимизации квадратичной ошибки.

Постановка задачи:

Пусть проведено N(xI,yI) опытов, где

хI- входной параметр;

уI - выходной параметр.

Необходимо подобрать модель связывающую x и у.

Через точки (хII) можно провести кривую, которая, в свою очередь, может проходить через эти точки или находиться вблизи данных точек.

В аппроксимации для получения параметров модели используется МНК- критерий (метод наименьших квадратов). Лучшей считается та модель, для которой сумма квадратов отклонений опытных значений, от теоретических будет минимальной.

Для этого формируется целевая функция или критерий оптимизации.

Далее надо исследовать функцию на экстремум. Неизвестными будут коэффициенты модели B. Наиболее просто находятся параметры, если F(B, xI) представляет собой полином n-ной степени. При этом формируется система линейных уравнений, порядок которой на единицу больше степени полинома.

К примеру, для полинома 3-ей степени система будет выглядеть так:

C - матрица коэффициентов системы.

D - вектор-столбец свободных членов.

B - вектор неизвестных.

В общем случае для нахождения параметров формируется система дифференциальных уравнений. В конце формируется система линейных уравнений, которую можно решать точными методами (метод Крамера, Гауса, обратной матрицы). Когда система решена, то есть, найдены параметры модели, можно выполнить прогнозирование значений у.

Если выбираемое x находится внутри элементарного интервала x, то говорят о прогнозировании в настоящем. Если x меньше x0, или x больше xN, то речь идет об экстраполяции.

Модели интерполяции

В интерполяции, в отличие от аппроксимации, производится минимизация линейной ошибки. Также, в отличие от аппроксимации, где кривая по отношению к точкам опытов может располагаться любым образом, а именно находиться вблизи этих точек, или проходить через некоторые из них, кривая интерполяции, или интерполяционный полином обязательно проходит через все точки кривой, которые называются узлами.

Наиболее простой подход к получению интерполяционной модели был предложен Лагранжем. Так как полином проходит через каждую опытную точку, то нужно составить столько уравнений, сколько проведено опытов. В левой части уравнения формируется полином, проходящий через i-тую точку. В правой части формируется вектор значений у. В результате получается система линейных уравнений n-ого порядка, где n - число опытов, а степень интерполяционного полинома на единицу меньше числа опытов.

Количество опытов должно обязательно быть больше пяти, иначе результаты интерполирования будут не пригодны для прогнозирования. Так как метод интерполяции требует прохождения модели через все точки, то накладываются определенные условия на опытные значения. Разности i-ого порядка должны быть примерно одинаковы малы. Хорошо интерполируются монотонные функции.

Оба рассмотренных метода относятся к методам исследования детерминированных моделей.

Анализ временных рядов

Временные ряды отражают тенденцию изменения параметров системы во времени, поэтому входным параметром х является момент времени.
Выходной параметр y называется уровнем ряда. В случае отсутствия ярко выраженных изменений в течение времени, общая тенденция сохраняется. Ряд можно описать уравнением вида:
YT = F (t) + ET , где
F (t) - детерминированная функция времени.
ET - случайная величина

Во временных рядах проводится операция анализа и сглаживания тренда, который отражает влияние некоторых факторов. Для построения тренда применяется МНК-критерий.

Существуют моментальные и интервальные ряды. В моментальных рядах отражаются абсолютные величины, по состоянию на определенный момент времени, а в интервальных - относительные величины (показатель за год, месяц, и т.д.). Исследование данных при помощи рядов позволяет во многих случаях более четко представить детерминированную функцию. При этом рассчитываются базисные и цепные показатели (прирост, коэффициент роста, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, и др.). Под базисными показателями понимают, показатели, которые соотносятся к начальному уровню ряда. Цепные показатели относятся к предыдущему уровню.

Прогноз явлений по временным рядам состоит из двух этапов:
- Прогноз детерминированной компоненты.
- Прогноз случайной компоненты.

Обе проблемы связаны с анализом результатов парных экспериментов. В отличие от аппроксимации и интерполяции анализ временных рядов включает в себя методы оценки случайных компонент. Поэтому прогнозирование при помощи временных рядов является более точным.

Исследование рядов имеет большое значение и для технических, и для экономических систем.

Литература

1. Бублик Н.Д., Секерин А.Б., Попенов С.В. Новейшие компьютерные технологии прогнозирования финансовых показателей и рынков. - Уфа: 1998, с.5.
2. Веденов А.А. Моделирование элементов мышления - М.: Наука, 1988, с. 67.
3. Васильева Г.Н., Шестаков А.П., Ситникова Н.А., Широких А.А. Информационно- коммуникационные технологии в обучении математике. Учебное пособие. - Пермь, Пермский государственный университет, 2006. - 238с.
4. Губарев В.В. Концептуальные основы информатики: Учеб. Пособие: Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001г.
5. Замятина Е.Б., Лядова Л.Н., Мызникова Б.И., Фролова Н.В. Введение в Информатику. Учебное пособие. Часть 1. Теоретические основы. - Пермский государственный университет. Пермь: «Пресс-мастер», 2004. - 144с.
6. Ивченко Б. П., Мартыщенко Л.А. Информационная микроэкономика Часть 1: Методы анализа и прогнозирования. СПб. Нордмед-Издат. 1997г.
7. Макарова Н.В. Информатика:. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 768 с.
8. Могилев А.В. Информатика: учеб. пособие для студ. пед. Вузов / А.В.Могилев, Н.И.Пак, Е.К.Хеннер; под ред. Е.К.Хеннера.-5-е изд., стер.-М.: Издательский центр «Академия», 2007.-848с.
9. Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы - М.: Наука, 1989.
10. Симонович С.В. Информатика. Базовый курс. - СПб: Питер. - 2001.
11. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем - М.: Высшая школа, 1998, с. 4-6.
12. Турчак К. Численные методы. М.- 1985г.
13. Угринович, Босова, Митхайлова. Информатика. Практикум по информационным технологиям.- "Лаборатория базовых знаний", 2007. - 394с.
14. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Я. Введение в исследование операции М. - Наука 1968г.
15. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе: Учеб. Пособие для вузов. М. - 2000г

Известия Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова № 1 (23) 2016

Категория: Рынок. Предпринимательство. Бизнес | Добавил: x5443x (29.08.2017)
Просмотров: 113 | Теги: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, экономические системы | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
...




Copyright MyCorp © 2017 Обратная связь